Hilbertraumbasis

Folgerungen

Für Rieszsysteme

Pseudoinverse und Bestapproximation

Ein Rieszsystem X spannt einen abgeschlossenen Unterraum im Hilbertraum auf. Zu jedem beliebigen Vektor gibt es eine Bestapproximation in diesem Unterraum, d. h. einen Koeffizientenvektor für welchen der Abstand minimal wird. Dieser Koeffizientenvektor bestimmt sich zu

.

Der in diesem Ausdruck vorkommende inverse Operator existiert, da das Komposit beschränkt, selbstadjungiert und positiv definit ist. Der inverse Operator kann als Neumann-Reihe konstruiert werden, denn es gilt

, daher ,

denn der Term

, mit ,

hat eine Operatornorm kleiner 1.

Der Operator ist der pseudoinverse Operator zu , es gelten die zwei Identitäten

• ist die Identität im Raum der Koeffizientenvektoren und
• ist der orthogonale Projektor auf das Bild .

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