Hilbertraum

Fourierkoeffizient

Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über bzw. und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei B = (b₁ , b₂ , ...) eine Orthonormalbasis und v ein Vektor aus dem Hilbertraum.

Da B eine Basis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten bzw. , so dass .Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis:. Da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist, erhält man so .

Der n-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden.

Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

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