Hilbertraum

Dualraum

Jeder Hilbertraum ist zugleich ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Satz von Fréchet-Riesz: Jeder reelle Hilbertraum ist mittels der Abbildung isometrisch isomorph zu seinem (topologischen) Dualraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums ist diese Abbildung zwar nur semilinear, aber es ist möglich, mittels einer semilinearen, normerhaltenden Bijektion , die man über eine Orthonormalbasis erhält, einen isometrischen Isomorphismus zu konstruieren. In beiden Fällen ist der Hilbertraum außerdem isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.

Die Eigenschaft, dass die kanonische Inklusion eines Raumes in seinen Bidualraum ein isometrischer Isomorphismus ist, nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.

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