Hilbertraum

Beispiele für Hilberträume

• mit dem Standardskalarprodukt .
• mit .
• Der Folgenraum aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlichdimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu sind.
• Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L² mit dem Skalarprodukt . Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.
• Der Raum AP² der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu betrachte man die Funktionen mit . Durch das Skalarprodukt wird der Raum (der von den Funktionen aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung AP² dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass er im Gegensatz zu den obigen Beispielen ein Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum ist.
• Der Sobolev-Raum H^p für alle und die entsprechenden Unterräume
• Der Raum HS der Hilbert-Schmidt-Operatoren.
• Für p = 2 sind der Hardy-Raum und der reelle Hardy-Raum Hilberträume.

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