Heron-Verfahren

Geometrische Veranschaulichung des Heron-Verfahrens

Dem Heron-Verfahren liegt die Idee zu Grunde, dass ein Quadrat mit Flächeninhalt A eine Seitenlänge von hat. Ausgangspunkt des Verfahrens ist ein beliebiges Rechteck mit Flächeninhalt A. Schritt für Schritt wird das Seitenverhältnis des Rechtecks so geändert, dass sich seine Form immer mehr der eines Quadrats annähert, während der Flächeninhalt gleich bleibt. Die Seitenlängen des Rechtecks sind die Näherungswerte für .

Im ersten Schritt wird eine beliebige Seitenlänge x₀ für das Rechteck gewählt. Damit dieses den gewünschten Flächeninhalt hat, wird die zweite Seitenlänge mit der Formel

berechnet. Als Beispiel soll die Wurzel aus 9 berechnet werden. Für die eine Seitenlänge wird der Wert 9 gewählt, sodass sich die andere Seitenlänge zu 1 berechnet. Das erste Rechteck hat deshalb die folgende Form.

Die Ähnlichkeit dieses Rechteck mit einem Quadrat ist gering. Das kommt auch dadurch zum Ausdruck, dass die Seitenlängen 1 und 9 sehr schlechte Näherung für die Wurzel aus 9, deren genauer Wert 3 ist, sind.

Um eine bessere Annäherung an ein Quadrat zu erhalten, muss die lange Seite gekürzt und die kurze Seite verlängert werden. Als neue Länge der langen Seite wird der Mittelwert

der beiden bisherigen Seitenlängen genommen. Die Länge der anderen Seite berechnet sich wie oben zu

Im Beispiel ergibt sich als Mittelwert die Seitenlänge 5. Die dazugehörige kurze Seite hat eine Länge von 1,8.

Auch hier ist die Ähnlichkeit zu einem Quadrat noch gering. Allerdings ist das neue Rechteck im Vergleich zum vorhergehenden kompakter.

Der beschriebene Ablauf wird in jedem weiteren Schritt des Heron-Verfahrens wiederholt. Der Mittelwert der Seitenlängen eines Rechtecks entspricht der Länge der langen Seite des neuen Rechtecks und die Länge der kurzen Seite lässt sich daraus jeweils wie oben beschrieben berechnen. Im Beispiel entstehen so in den nächsten zwei Schritten die folgenden beiden Rechtecke.

{|

| style="padding-right:3em" | | style="padding-top:14px" | |}

Das letzte Rechteck ist schon annähernd quadratisch. Die Seitenlänge 3,024 liegt entsprechend nah bei 3, dem exakten Wert von .

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Heron-Verfahren aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung