Halley-Verfahren

mehrdimensionale Erweiterung

Eine Erweiterung des Verfahrens auf Funktionen mehrerer Veränderlicher ist möglich. Es kann der gleiche binomische Trick zur Herstellung einer Hyperbelfunktion verwendet werden. Dabei ist aber zu beachten,

1. dass F'(x) eine Matrix ist, die als invertierbar vorausgesetzt wird,
2. dass F''(x) ein Tensor dritter Stufe ist, genauer eine vektorwertige symmetrische Bilinearform, und
3. dass die unvollständig ausgewertete zweite Ableitung , die ebenfalls eine Matrix ist, im Allgemeinen nicht mit der Matrix F'(x) kommutiert.

Dies sind keine Hindernisse, diese Eigenschaften machen nur die Rechnung etwas unübersichtlicher. Es bezeichne s = - F'(x)^-1 F(x) den üblichen Newtonschritt, sei der entsprechend modifizierte Term zweiter Ordnung. Dann gilt für die Taylorentwicklung in x

Der in t lineare Teil des Zählers wird nun zu Null gesetzt und weiter umgeformt. Dabei wird die Symmetrie von C(.,.) ausgenutzt:

Werden nun die Kurznotationen durch die ursprünglichen Ausdrücke ersetzt, so ergibt sich

.

Man überzeugt sich leicht, dass diese Formel sich im eindimensionalen Fall zur Halley-Iteration reduziert. Der sich daraus ergebende Iterationsschritt des mehrdimensionalen Halley-Verfahrens kann in 3 einfacheren Schritten bestimmt werden:

1. Newton-Schritt: Löse F'(x_k )s_k = - F(x_k )
2. Korrektur des Newton-Schritts: Löse
3. Setze x_{k + 1} = x_k + t_k

Ist die 2.Ableitung Lipschitz-stetig, so konvergiert das Verfahren lokal kubisch.

Da F(x) als klein vorausgesetzt wurde, ist es nicht mehr notwendig, die Inverse der großen Klammer zu bestimmen. Es kann wieder der binomische Trick (bzw. die Taylorformel 1. Grades) benutzt werden, um den einfacheren, aber bis auf Terme dritter Ordnung (nun in F(x)) identischen Ausdruck

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