Inhalt
Halley-Verfahren| Kubische Konvergenz | |
&-F'(x)^{-1}F(x)-\tfrac12F'(x)^{-1}F(x)\bigl(F'(x)^{-1}F(x),F'(x)^{-1}F(x)\bigr)/ Weblinks/ Quellen |
Halley-Verfahren
Kubische Konvergenz
Sei f dreimal stetig differenzierbar. Da a als Nullstelle von f vorausgesetzt wurde, gilt näherungsweise 
. Genauer gilt auf einem Intervall I, welches a enthält, nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die zweiseitige Abschätzung
,
d. h. sowohl x - a = O(f(x)) als auch f(x) = O(x - a). Es reicht also, das Verhältnis der Funktionswerte von einem Iterationsschritt zum nächsten zu bestimmen.
Irrationales oder parabolisches Halley-Verfahren
Die Taylorentwicklung zweiten Grades von f ist
.
Dies ergibt zunächst eine Näherung durch eine Parabel, die den Graphen von f im Punkt x von zweiter Ordnung berührt. Ist f(x) klein genug, so hat diese Parabel eine Nullstelle, die deutlich nahe an x liegt, nämlich bei
Die entsprechende Iteration ist
.
Da der Nenner von h in der Nähe einer Nullstelle von f von Null verschieden ist, gilt h = O(f(x)). Durch diese Konstruktion von h verschwinden die ersten drei Glieder der Taylor-Entwicklung, daher gilt f(xk + 1 ) = O(h3 ) = O(f(xk )3 ).
Diese Form des Verfahrens wurde ursprünglich von E. Halley vorgeschlagen. Entwickelt man die Wurzel nach , so erhält man das, heute übliche, rationale oder hyperbolische Halley-Verfahren.
Hyperbolisches Halley-Verfahren
Benutzt man in der Taylor-Entwicklung von f(x + h) die Identität (a + bh)(a - bh) = a2 - b2 h2 = a2 + O(h2 ), so kann man diese in einen Bruch von in h linearen Funktionen verwandeln, d.h. f wird in der Nähe von x durch eine hyperbolische Funktion angenähert, und von dieser nachfolgend die Nullstelle bestimmt:
Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Halley-Verfahren aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren