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Halley-Verfahren| Beschreibung des Verfahrens | |
&-F'(x)^{-1}F(x)-\tfrac12F'(x)^{-1}F(x)\bigl(F'(x)^{-1}F(x),F'(x)^{-1}F(x)\bigr)/ Weblinks/ Quellen |
Halley-Verfahren
Beschreibung des Verfahrens
Sei f eine reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung, 
und sei a eine einfache Nullstelle von f, d. h.
. Dann konvergiert für Startpunkte x0
nahe a die durch die Iteration
, k=0,1,2,...
erzeugte Folge sukzessiver Näherungen mit kubischer Konvergenzordnung gegen a.
Varianten dieses Verfahrens sind das ursprünglich von Halley verwendete irrationale bzw. parabolische Halley-Verfahren mit der Iterationsvorschrift
,
und in Verallgemeinerung dessen das Laguerre-Verfahren
.
Für Polynome wird dabei n gleich dem Grad gesetzt. Da der Term unter der Wurzel negativ werden kann, können diese beiden Varianten auch für rein reelle Polynome und reelle Startwerte zu komplexen Nullstellen konvergieren. Bei der in nachfolgenden Iterationen notwendigen Bestimmung der Quadratwurzel aus komplexen Zahlen ist hier immer die Lösung mit positivem Realteil zu wählen, so dass der Nenner den größtmöglichen Betrag hat.
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