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Häufungspunkte

Ein Punkt heißt Häufungspunkt einer Punktmenge , wenn in jeder -Umgebung um x von x verschiedene Punkte aus M liegen, also

Ist x ein Häufungspunkt von M dann liegen in jeder -Umgebung um x sogar unendlich viele Punkte. Denn wenn und , wählen wir und in muss ein weiterer von y verschiedener Punkt liegen. Auf diese Art können wir eine beliebige (unendliche) Anzahl von Punkten in finden.

Andererseits muss ein Häufungspunkt von M nicht notwendigerweise zu M gehören.

Ein zu M gehöriger Punkt, der kein Häufungspunkt ist, heißt isolierter Punkt.

Beispiele

Die Menge hat den einzigen Häufungspunkt 0, der nicht zur Menge gehört. Alle Punkte der Menge sind isoliert.

Eine endliche Menge besteht nur aus isolierten Punkten.

Jede rationale Zahl ist Häufungspunkt der irrationalen Zahlen und jede irrationale Zahl ist Häufungspunkt der rationalen Zahlen.

Jeder Punkt der offenen Kreisscheibe aus Beispiel 165J ist Häufungspunkt. Es gibt jedoch noch weitere Häufungspunkte, nämlich alle auf dem Kreisrand liegenden Punkte.

Satz 165K (Bolzano-Weierstraß)

Jede unendliche, beschränkte Punktmenge M des besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

Dieser Satz ist eine Verallgemeinerung von Satz 5729E für reelle Zahlenfolgen.

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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