Grundlagen der Mathematik

Zur Geschichte der Grundlagenfragen

Krise

Im Verlauf dieser Krise bildeten sich mehrere mathematikphilosophische Positionen heraus, von denen hier nur deren Auffassung zur Frage nach einer einheitlichen Grundlage der Mathematik dargestellt wird:

Für den Logizismus ist die Grundlage der Mathematik schlicht die Logik (wobei sich herausstellte, dass die Logizisten einen recht weiten Logik-Begriff benutzten, der im heutigen Sinne mengentheoretische Begriffe mit einschloss). Recht sollten die Logizisten behalten, insofern sich das mathematische Schließen als rein logisches Schließen darstellen und begreifen lässt. Eine wichtige Grundlage der Mathematik bilden damit die von der Formalen Logik bereitgestellten Regelsysteme des logischen Schließens, von denen die Prädikatenlogik erster Stufe die wichtigste ist.

Für den Intuitionismus bilden die natürlichen Zahlen die Grundlage. Brouwers Zugang zur Analysis, die sogenannte Wahlfolgentheorie, lässt sich als Durchführung von Kroneckers Forderung nach vollständiger Arithmetisierung und Verzicht auf den Mengenbegriff sehen.

Für den Formalismus ist die Grundlage der Mathematik dagegen kein Gegenstandsbereich, der aus logischen Objekten oder Zahlen besteht, sondern die Grundlage bilden die Axiome der Theorie, in der man sich gerade bewegt, plus Prädikatenlogik. Abzusichern ist diese Grundlage durch den Beweis der Widerspruchsfreiheit der Axiome. Dieser Beweis sollte nun selbst nicht innerhalb einer formal-axiomatischen Theorie geführt werden, da er sonst am Ende zirkulär würde, sondern innerhalb der (intuitiv gegebenen) endlichen Mathematik der natürlichen Zahlen, an deren Widerspruchsfreiheit nicht zu zweifeln ist. Die natürlichen Zahlen bilden somit für den Formalismus weniger die Grundlage der Mathematik wie für den Intuitionismus, sondern vielmehr einen Überbau, eine Meta-Mathematik, wie der Formalist Hilbert sie nannte.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Grundlagen der Mathematik aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung