Grundlagen der Mathematik

Zur Geschichte der Grundlagenfragen

Arithmetisierung

Insbesondere in der Analysis traten im 18. und frühen 19. Jahrhundert Schwierigkeiten und Unsicherheiten auf, die vom Rechnen mit unendlich kleinen Größen herrührten. So konnte man sich eine Weile nicht darüber einigen, ob jede konvergente Folge stetiger Funktionen wiederum gegen eine stetige Funktion konvergiert oder ob die Grenzfunktion auch unstetig sein kann. Es lagen Beweise für beide Behauptungen vor und es erwies sich als sehr schwierig, in einem der Beweise einen Fehler zu finden. Unübersehbar wurde hierin die Notwendigkeit, die Begriffe und den Umgang mit ihnen zu präzisieren. Im 19. Jahrhundert setzte darum eine bewusste „Arithmetisierung“ der Analysis ein, der unklare Begriff der unendlich kleinen Zahl wurde ersetzt durch die „beliebig kleine Zahl größer Null“, welche gerne mit dem Buchstaben bezeichnet wurde. Diese vor allem von Cauchy und Weierstraß vorangetriebene „Epsilontik“, die die Analysis zu einer Theorie über die reellen Zahlen werden ließ, bedeutete einen Durchbruch für ihre Verlässlichkeit; was blieb, war die Klärung des Begriffs der reellen Zahl bzw. der Menge der reellen Zahlen – abgesehen von der noch in weiter Ferne liegenden Axiomatisierung der Theorie. Dieser nun als eine der wichtigsten Grundlagen der Mathematik geltende Begriff erfuhr seine Klärung in den 70er und 80er Jahren des 19. Jahrhunderts durch Dedekinds Definition der reellen Zahl als Schnitt und Cantors Definition als Äquivalenzklasse konvergenter Folgen, die noch heute gebräuchlich ist.Diese Definitionen setzten allerdings einen allgemeinen Mengenbegriff voraus und damit auch unendliche Mengen – die Vermeidung der Rede von unendlich kleinen Größen wurde also erkauft mittels unendlich großer Objekte: eben Mengen mit unendlich vielen Elementen. Dies trug den genannten Definitionen eine erste philosophisch-konstruktivistische Kritik ein: Kronecker war der Meinung, man müsse die Arithmetisierung noch weiter treiben, um auch das Reden über unendliche Mengen zu vermeiden. In der Tat war Cantors transfinite Mengenlehre ebenso wie Freges Grundgesetze der Arithmetik von der Russellschen Antinomie befallen, welche die Mathematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in eine Grundlagenkrise stürzte.

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