Grundlagen der Mathematik

Zur Geschichte der Grundlagenfragen

Geht man – wie bis in die Neuzeit hinein üblich – von einer Unterteilung der Mathematik in Arithmetik und Geometrie aus, so kann man die "Grundlagenfrage" stellen, ob die beiden Teile voneinander unabhängige Erkenntnisbereiche sind oder ob einer von beiden der grundlegendere ist, auf den sich der andere zurückführen lässt.

Von den alten Griechen bis in die Neuzeit

In der Mathematik der Antike bis zu den Griechen führte die höhere Anschaulichkeit der Geometrie dazu, dass viele arithmetische Probleme auf geometrischer Grundlage gelöst wurden. So fanden etwa die Pythagoreer um 500 v. Chr. Gesetzmäßigkeiten von Quadratzahlen heraus, indem sie kleine Steinchen („Psephoi“) zu Quadraten legten und die Unterschiede der so entstehenden Quadrate betrachteten.

Gerade weil den Griechen das Geometrische vertrauter war, stellten die Zahlen das größere Faszinosum dar. Die Pythagoreer erkannten, dass die arithmetische Welt der Zahlen gegenüber der geometrischen Welt der Figuren die umfassendere ist, ja sie erklärten die Zahlen in dem Satz „alles ist Zahl“ zur Grundlage der Dinge überhaupt. Trotz des praktischen Vorzugs der Geometrie wurden also in der philosophischen Reflexion die Zahlen zur eigentlichen Grundlage der Mathematik erklärt.

Während die Zahlen nicht so recht zu greifen waren, begann die mathematische Systematisierung der Grundlagen mit der Axiomatisierung der Geometrie. Die um 300 v. Chr. entstandenen „Elemente“ des Euklid sollten bis zum Ende des 19. Jahrhunderts das Paradigma der Grundlegung einer wissenschaftlichen Disziplin schlechthin bleiben. Zweifellos konnte dieses Werk nur unter dem Einfluss des rationalistischen Geistes der griechischen Philosophie geschrieben werden, möglicherweise war Euklid sogar selbst Schüler an Platons Akademie.

Descartes' Einführung des Koordinatensystems, das die Lösung geometrischer Probleme im Rahmen des algebraischen Rechnens ermöglichte, sowie die Erfindung der Differentialrechnung durch Newton und Leibniz bewirkten zu Beginn der Neuzeit zwar große Fortschritte in der Mathematik und verschoben dabei die Gewichte von der Geometrie zur Arithmetik hin. Die Grundlagen der Arithmetik blieben aber weiterhin ebenso ungeklärt wie die ihrer neuen Teildisziplinen, der Algebra und der Analysis.

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