Grundlagen der Mathematik

Heutige Lage

Die formalistische Position hat sich akademisch weitgehend durchgesetzt und zu neuen Teildisziplinen der Mathematik geführt, die von mathematischer Seite die Grundlagen behandeln und üblicherweise unter der Bezeichnung mathematische Logik zusammengefasst werden: Mengenlehre, Beweistheorie, Rekursionstheorie und Modelltheorie.

Vom formalistischen Standpunkt aus kann die Suche nach der Grundlage der Mathematik nur bedeuten, eine axiomatische Theorie zu finden, in der alle anderen mathematischen Theorien enthalten sind, in der sich also alle Begriffe der Mathematik definieren und alle Sätze beweisen lassen. Nach einer unter Mathematikern weitverbreiteten Meinung ist diese Grundlage mit dem Axiomensystem der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre gefunden. Es werden aber auch weiterhin andere Mengenlehren als mögliche Grundlage untersucht. Und es wird nach wie vor der Frage nachgegangen, ob sich Kroneckers Forderung nicht doch erfüllen lässt, ob statt einer ausladend mengentheoretischen nicht auch eine viel schmalere nur arithmetische Grundlage genügen könnte, um die gesamte Mathematik darauf aufzubauen. Solche Untersuchungen führt die Beweistheorie, während die Rekursionstheorie wesentlich den Überbau der endlichen Mathematik untersucht und möglichst feine Methoden bereitstellt, mit denen die Beweistheoretiker dann ihre Widerspruchsfreiheitsbeweise führen können. Die Modelltheorie schließlich befasst sich mit der Frage, ob eine bestimmte axiomatische Theorie stärker ist als eine andere, ob sie ein „Modell“ für diese liefert. So hat sich z.B. der Eindruck der alten Griechen bestätigt, dass die Arithmetik viel stärker ist als die Geometrie: Der dreidimensionale Zahlenraum, wie ihn Descartes durch sein Koordinatensystem eingeführt hat, ist ein Modell unseres geometrischen Raumes, alle Sätze der Geometrie lassen sich auch im Zahlenraum, also rechnerisch-algebraisch, beweisen.

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