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Inhalt

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Vorbemerkung

Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens

w_n - \sum_{i/ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}/ \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens
  

Beispiel

\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}/ \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}/ \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}/ \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}/ Anmerkungen

Funktionsprinzip der Verfahren/ Literatur/ Weblinks

 

 

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens

Der folgende Algorithmus berechnet zu den linear unabhängigen Vektoren w1 , ..., wn ein Orthonormalsystem von n normierten, paarweise orthogonalen Vektoren, das denselben Untervektorraum erzeugt.

Die einzelnen Vektoren v1 , ..., vn des Orthonormalsystems erhält man, indem zuerst jeweils ein orthogonaler Vektor berechnet und anschließend normalisiert wird:


(Normalisieren des ersten Vektors w1 )
(Orthogonalisieren des zweiten Vektors w2 )
(Normalisieren des Vektors v2 ´)
(Orthogonalisieren des dritten Vektors w3 )
(Normalisieren des Vektors v3 ´)
(Orthogonalisieren des n-ten Vektors wn )
(Normalisieren des Vektors vn ´)

Im Allgemeinen erhält man durch dieses Verfahren kein besonders ausgezeichnetes System. Im muss z.B. erst ein Umordnungsschritt nachgeschaltet werden, um ein Rechts- oder Linkssystem zu erhalten.

 

 

 

 

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