Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Vorbemerkung
Algorithmus des Orthogonalisierungsverfahrens
w_n - \sum_{i/ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{12}{14} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}/ \frac{1}{7} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 2 \end{pmatrix}
Algorithmus des Orthonormalisierungsverfahrens
	Beispiel
\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} - \frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \left\langle \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \right\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}/ \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}/ \sqrt{\frac{25}{40}} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}/ \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}/ Anmerkungen
Funktionsprinzip der Verfahren/ Literatur/ Weblinks

Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

Das Gram-Schmidtsche Orthogonalisierungsverfahren ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er erzeugt zu jedem System linear unabhängiger Vektoren aus einem Prähilbertraum (einem Vektorraum mit Skalarprodukt) ein Orthogonalsystem, das denselben Untervektorraum erzeugt. Eine Erweiterung stellt das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren dar: statt eines Orthogonalsystems berechnet es ein Orthonormalsystem. Verwendet man ein System von Basisvektoren als Eingabe für die Algorithmen, so berechnen sie eine Orthogonal- bzw. Orthonormalbasis.

Die beiden Verfahren sind nach Jørgen Pedersen Gram und Erhard Schmidt benannt. Sie wurden allerdings bereits früher in den Werken von Pierre-Simon Laplace und Augustin Louis Cauchy verwendet.

Für die numerische Berechnung durch einen Computer sind die Gram-Schmidt-Verfahren nicht geeignet. Durch akkumulierte Rundungsfehler sind die berechneten Vektoren nicht mehr orthogonal. Es existieren aber Modifikationen des Verfahrens, die diesen Fehler nicht haben. Weitere Möglichkeiten für Orthogonalisierungsverfahren basieren auf Householdertransformationen oder Givens-Rotationen.

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