Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Bedeutung des Unvollständigkeitssatzes

Gödel versetzte mit seinem Unvollständigkeitssatz einem Ansatz von David Hilbert zur vollständigen Begründung und Formalisierung der Mathematik einen schweren Schlag. Dieser Ansatz ist als Hilbertprogramm bekannt geworden und wurde von ihm im Jahre 1921 veröffentlicht. Hilbert hatte vorgeschlagen, die Widerspruchsfreiheit von komplexeren Systemen durch diejenige einfacherer Systeme nachzuweisen. Die Motivation hierfür ist, dass einem Beweis zur Widerspruchsfreiheit eines Systems, der in diesem System selbst gegeben ist, nicht getraut werden kann. Der Grund ist, dass sich aus einem Widerspruch heraus alles beweisen lässt (Ex falso quodlibet), also ließe sich aus einem Widerspruch im System auch die Widerspruchsfreiheit des Systems beweisen. Daher sollte die Widerspruchsfreiheit in einem einfacheren System bewiesen werden, sodass letztlich die Widerspruchsfreiheit der gesamten Mathematik auf einfache, offensichtlich widerspruchsfreie Axiome zurückgeführt werden kann.

Eine streng formalisierte Prädikatenlogik erster Stufe war eines von Hilberts Konzepten. Am Ende seines Programms sollte die gesamte Mathematik auf die einfache Arithmetik zurückgeführt und auf ein axiomatisches System gestellt werden, aus dem alle mathematischen Sätze streng ableitbar sind.

Gödels Schaffen war durch Hilberts Programm motiviert. Er verwendete die von Hilbert vorgeschlagenen Methoden, um seinen Unvollständigkeitssatz zu zeigen. Gödel bewies auch den folgenden Satz

Ein System kann nicht zum Beweis seiner eigenen Widerspruchsfreiheit verwendet werden.

Gödel hatte damit gewissermaßen Hilbert mit dessen Methoden gezeigt, dass der Vorschlag nicht funktioniert.

Die Folge daraus ist, dass man die Korrektheit von (gewissen) formalen Systemen als gegeben annehmen muss, sie lässt sich nicht beweisen.

Ein anderer Ansatz, der unüberbrückbare Lücken in Hilberts Programm nachweist, stammt von dem Mathematiker Alan Turing. Er erfand die Turingmaschine und formulierte deren Halteproblem.

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