Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz ist einer der wichtigsten Sätze der modernen Logik. Er beschäftigt sich mit der Ableitbarkeit von Aussagen in formalen Systemen. Der Satz zeigt die Grenzen der formalen Systeme ab einer bestimmten Mächtigkeit auf und weist nach, dass es in hinreichend starken Systemen, wie der Arithmetik, Aussagen gibt – und geben muss – die man weder formal beweisen, noch widerlegen kann. Der Satz beweist damit die Unmöglichkeit des Hilbertprogramms, welches von David Hilbert unter anderem begründet wurde, um die Widerspruchsfreiheit der Mathematik zu beweisen. Der Satz wurde 1931 vom österreichischen Mathematiker Kurt Gödel veröffentlicht.

Genauer werden zwei Unvollständigkeitssätze unterschieden. Der Erste Unvollständigkeitssatz besagt, dass es in hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen immer unbeweisbare Aussagen gibt. Der Zweite Unvollständigkeitssatz besagt, dass hinreichend starke widerspruchsfreie Systeme ihre eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen können.

In der Wissenschaftstheorie und in anderen Gebieten der Philosophie zählt der Satz zu den meistrezipierten der Mathematik. Das Buch Gödel, Escher, Bach und die Werke von John Randolph Lucas, der versuchte eine Theorie der Menschenrechte mit der Aussage zu zeigen, werden in dem Zusammenhang, zusammen mit ihren ebenso zahlreichen Kritikern, gern exemplarisch herausgehoben.

Durch die Sätze ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder wahre mathematische Satz kann aus den wie auch immer gewählten Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (zum Beispiel Arithmetik, Geometrie, Algebra etcetera) formal abgeleitet werden.

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