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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Eine gewöhnliche Differentialgleichung (oft abgekürzt mit ODE, englisch ordinary differential equation) ist eine Differentialgleichung (DGL), die Ableitungen nach genau einer reellen Variablen enthält und somit durch Funktionen gelöst werden kann, die ebenfalls von genau einer Variablen abhängen.

Allgemeine Definition

Die Ordnung der Differentialgleichung n ist durch die Ordnung der höchsten vorkommenden Ableitung gegeben.

Es seien mit und , dann heißt:

eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung.

Ihre Lösungen sind n-mal differenzierbare Funktionen, die von einer Variablen abhängen und die DGL auf einem zu bestimmenden Intervall I erfüllen.

Kann die Differentialgleichung nach der höchsten vorkommenden Ableitung aufgelöst werden und hat somit die Form:

so heißt sie explizit, andernfalls implizit. (siehe: Satz von der impliziten Funktion)

Klassifikation und Lösung

Die Lösung einer Differentialgleichung ist immer eine Funktion (oder im Falle eines Systems von Differentialgleichungen mehrere Funktionen). Es ist jedoch nicht jede Differentialgleichung lösbar. Es gibt allerdings einige Kriterien, anhand derer man Lösbarkeit erkennen kann. Ferner reicht die Differentialgleichung allein im Allgemeinen nicht aus, um die Funktion eindeutig zu bestimmen. Die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung n-ter Ordnung hat im Allgemeinen n freie Parameter. Die allgemeine Lösung einer partiellen Differentialgleichung von n Unbekannten enthält im Allgemeinen eine frei wählbare (aber hinreichend oft differenzierbare) Funktion von n-1 Variablen, die selbst Funktionen der n Unbekannten sind (diese Funktionen sind aber natürlich nicht frei wählbar sondern werden durch die Lösung bestimmt).

Beispielsweise werden alle schwingenden Pendel durch eine Differentialgleichung beschrieben (siehe: Pendelgleichung), und der generelle Bewegungsablauf folgt immer dem gleichen Prinzip. Der konkrete Bewegungsablauf ist jedoch durch die Rand- oder Anfangsbedingung(en) (wann wurde das Pendel angestoßen, und wie weit) bestimmt. Die Lösbarkeit von Anfangswertproblemen bei gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung wird durch den Satz von Picard-Lindelöf beschrieben.

Nur wenige Typen von gewöhnlichen Differentialgleichungen lassen sich analytisch lösen.

Die Menge aller Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung bildet ein dynamisches System, auch Fluss der Differentialgleichung genannt.

Literatur

• M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme, Oldenbourg Verlag, München und Wien, 2004, ISBN 3-486-27606-9
• B. Aulbach: Gewöhnliche Differenzialgleichungen, Elsevier Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg, 2004, ISBN 3-8274-1492-X
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Teubner, März 2004, ISBN 3519322277
• Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer, 2000, ISBN 3540676422

Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.

David Hilbert

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