Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt in der Mathematik gerade Funktion genau dann, wenn gilt. Ist die Funktion reell, das heißt nimmt sie auf der nichtleeren Teilmenge lauter reelle Werte an, dann ist ihr Schaubild achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beispiele gerader Funktionen sind | x | , x² , cosx und coshx. Sie können keine Bijektion darstellen.

Eine Funktion f mit Definitionsbereich D heißt ungerade Funktion genau dann, wenn gilt. Im reellen Fall ist ihr Schaubild punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung.

Beispiele ungerader Funktionen sind x, x³ und andere Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sowie ganzrationale Funktionen, die die Summe von Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten darstellen. Aber auch beispielsweise die Funktionen sinx und sinhx.

Ist f eine ungerade Funktion, und ist , so gilt speziell f(0) = - f( - 0) = - f(0), also muss f(0) = 0 gelten. Die Funktion f(x) = 1/x ist ein Beispiel einer ungeraden Funktion, die für x = 0 nicht definiert ist. Demnach gilt auch f(0) = 0 für sie nicht.

Die einzige reelle Funktion, die gleichzeitig gerade und ungerade ist, ist die Funktion, die konstant 0 ist, denn für diese gilt .

Ihre Bezeichnung haben die Funktionen daher, dass eine ganzrationale Funktion genau dann gerade ist, wenn nur Koeffizienten a₀ , a₂ , ...a_2k , ..., also nur Koeffizienten zu Potenzfunktionen mit geradem Grad von 0 verschieden sind. Eine ganzrationale Funktion ist genau dann ungerade, wenn nur Koeffizienten zu Potenzfunktionen mit ungeradem Grad von 0 verschieden sind.

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