Gaußsches Eliminationsverfahren

Pivotisierung

Das gaußsche Eliminationsverfahren ist im Allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen durchführbar. Ersetzt man im obigen Beispiel a₁₁ = 1 durch a₁₁ = 0, so kann der Algorithmus ohne Zeilenvertauschung gar nicht starten. Zur Abhilfe wählt man ein Element der ersten Spalte der Koeffizientenmatrix, das so genannte Pivotelement, welches ungleich 0 ist.

Danach vertauscht man die erste Zeile mit der Pivotzeile:

Für die Rechnung per Hand ist es hilfreich, eine 1 oder minus 1 als Pivotelement zu wählen, damit im weiteren Verlauf des Verfahrens keine Brüche entstehen. Für die Berechnung mit Hilfe eines Computers ist es sinnvoll, das betragsgrößte Element zu wählen, um einen möglichst stabilen Algorithmus zu erhalten. Wählt man das Pivotelement in der aktuellen Spalte, spricht man von Spaltenpivotisierung. Alternativ kann man das Pivot auch in der aktuellen Zeile wählen.

In diesem Fall werden entsprechend die Spalten getauscht.

Beim Rückwärtseinsetzen ist dabei zu beachten, dass die Variablen ihre Position im Gleichungssystem geändert haben. Wählt man als Pivot das betragsgrößte Element der gesamten Restmatrix, so spricht man von vollständiger Pivotisierung beziehungsweise Totalpivotisierung. Dafür sind im Allgemeinen sowohl Zeilen- als auch Spaltenvertauschungen notwendig.

Pivotisierung ist ohne nennenswerten Zusatzaufwand durchführbar, wenn nicht die Einträge der Matrix und der rechten Seite vertauscht, sondern die Vertauschungen in einem Indexvektor gespeichert werden.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Gaußsches Eliminationsverfahren aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung