Gaußsches Eliminationsverfahren

LR-Zerlegung

Will man das Lösen eines quadratischen eindeutig lösbaren Gleichungssystems Ax=b als Computerprogramm umsetzen, bietet es sich an, den Gaußalgorithmus als LR-Zerlegung (auch LU-Zerlegung oder Dreieckszerlegung genannt) zu interpretieren. Dies ist eine Zerlegung der regulären Matrix A in das Produkt einer linken unteren Dreiecksmatrix L (links, bzw. engl. „lower“) und einer rechten oberen Dreiecksmatrix R (rechts, auch mit U bezeichnet, von engl. „upper“). Das folgende Beispiel zeigt dies:

Dabei hat R die oben erwähnte Stufenform und die Matrix L dient dem Speichern der benötigten Umformungsschritte, die Multiplikationen mit Frobeniusmatrizen entsprechen. Das zeigt die Existenz der Zerlegung. Um Eindeutigkeit zu erreichen, werden die Diagonalelemente der Matrix L als 1 festgelegt. Die Umformungsschritte zu speichern hat den Vorteil, dass für verschiedene „rechte Seiten“ b das Gleichungssystem effizient durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzen gelöst werden kann.

Die im Allgemeinen aus Stabilitätsgründen benötigten Zeilenvertauschungen können durch eine Permutationsmatrix P beschrieben werden.

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