Gaußsches Eliminationsverfahren

Geschichte

Bereits im chinesischen Mathematikbuch Jiu Zhang Suanshu (dt. Neun Bücher arithmetischer Technik), das zwischen 200 vor und 100 nach Christus verfasst wurde, findet sich eine beispielhafte, aber klare Demonstration des Algorithmus anhand der Lösung eines Systems mit drei Unbekannten. 263 veröffentlichte Liu Hui einen umfassenden Kommentar zu dem Buch, der daraufhin in den Textkorpus einging. Das Jiuzhang Suanshu war bis ins 16. Jahrhundert eine wesentliche Quelle der mathematischen Bildung in China und umliegenden Ländern.

In Europa wurde erst 1759 von Joseph-Louis Lagrange ein Verfahren publiziert, das die grundlegenden Elemente enthält. Carl Friedrich Gauß beschäftigte sich im Rahmen seiner Entwicklung und Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate mit linearen Gleichungssystemen, den dort auftretenden Normalgleichungen. Seine erste Veröffentlichung zu dem Thema stammt von 1810 (Disquisitio de elementis ellipticis Palladis), allerdings erwähnt er bereits 1798 in seinen Tagebüchern kryptisch, er habe das Problem der Elimination gelöst. Sicher ist, dass er das Verfahren zur Berechnung der Bahn des Asteroiden Pallas zwischen 1803 und 1809 nutzte. In den 1820ern beschrieb er das erste Mal etwas wie eine LR-Zerlegung. Das Eliminationsverfahren wurde in der Folgezeit vor allem in der Geodäsie eingesetzt (siehe bei Gauß' Leistungen), und so ist der zweite Namensgeber des Gauß-Jordan-Verfahrens nicht etwa der Mathematiker Camille Jordan, sondern der Geodät Wilhelm Jordan.

Im und nach dem Zweiten Weltkrieg gewann die Untersuchung numerischer Verfahren an Bedeutung und das Gauß-Verfahren wurde nun auch vermehrt auf Probleme unabhängig von der Methode der kleinsten Quadrate angewandt. John von Neumann und Alan Turing definierten die LR-Zerlegung in der heute üblichen Form und untersuchten das Phänomen der Rundungsfehler. Befriedigend gelöst wurden diese Fragen erst in den 1960ern durch James Hardy Wilkinson, der zeigte, dass das Verfahren mit Pivotisierung rückwärtsstabil ist.

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