Gaußsches Eliminationsverfahren

Erklärung

Beispiel

1. x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 2, hier: a₁₁ = 1, a₁₂ = 2, a₁₃ = 3 und b₁ = 2
2. x₁ + x₂ + x₃ = 2
3. 3x₁ + 3x₂ + x₃ = 0

Zur besseren Übersichtlichkeit werden die Koeffizienten a_ij des linearen Gleichungssystems in die mit b erweiterte Koeffizientenmatrix geschrieben:

Jetzt wird so umgeformt, dass a₂₁ und a₃₁ Null werden, indem man geeignete Vielfache der ersten Gleichung zur zweiten und dritten Gleichung addiert. Den entsprechenden Multiplikator erhält man, indem man das zu eliminierende Element (als erstes a₂₁ = 1) durch das Pivotelement a₁₁ teilt (hier: und ). Da die beiden Elemente a₂₁ und a₃₁ Null werden sollen, werden die beiden Multiplikatoren jeweils mit (-1) multipliziert.

Zur zweiten Zeile wird also das (-1)-fache und zur dritten Zeile das ( - 3)-fache der ersten Zeile addiert. Damit a₃₂ Null wird, wird ein Vielfaches der zweiten Zeile zur dritten Zeile addiert, in diesem Fall das ( - 3)-fache:

Falls die Zahl, durch die zur Berechnung des Multiplikators dividiert wird (hier für die ersten beiden Zeilen die Zahl 1, beim dritten Mal die Zahl -1), Null ist, wird diese Zeile mit einer weiter unten liegenden vertauscht. Die letzte Zeile bedeutet

- 2x₃ = - 6.

Diese Gleichung ist einfach lösbar und liefert x₃ = 3. Damit ergibt sich für die zweite Zeile

-1x₂ - 2x₃ = 0, also x₂ = - 6

und weiter x₁ = 5. Damit sind alle Variablen berechnet:

x₁ = 5, x₂ = - 6 und x₃ = 3.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Gaußsches Eliminationsverfahren aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung