Gaußsches Eliminationsverfahren

Das Gauß-Verfahren als theoretisches Hilfsmittel

Das Gauß-Verfahren ist neben seiner Bedeutung zur numerischen Behandlung von eindeutig lösbaren linearen Gleichungssystemen auch ein wichtiges Hilfsmittel in der theoretischen linearen Algebra.

Aussagen zur Lösbarkeit des linearen Gleichungssystems

Ein lineares Gleichungssystem kann eine, mehrere oder keine Lösung haben. Bei Verwendung von vollständiger Pivotisierung bringt das Gauß-Verfahren jede Matrix auf Dreiecksstufenform, bei der alle Einträge unterhalb einer gewissen Zeile Null sind und auf der Diagonale keine Nulleinträge auftauchen. Der Rang der Matrix ergibt sich dann als Zahl der Nichtnullzeilen der Matrix. Die Lösbarkeit ergibt sich dann aus dem Zusammenspiel mit der rechten Seite: Gehören zu den Nullzeilen Nichtnulleinträge der rechten Seite, ist das Gleichungssystem unlösbar, ansonsten lösbar, wobei die Dimension der Lösungsmenge der Anzahl der Unbekannten minus dem Rang entspricht.

Beispiel

Da die zweite Gleichung ein Vielfaches der ersten Gleichung ist, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Bei der Elimination von x in der zweiten Gleichung verschwindet diese vollständig, übrig bleibt nur die erste Gleichung. Löst man diese nach x auf, kann man die Lösungsmenge in Abhängigkeit von y angeben:

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