Gauß-Quadratur

Anwendung

Gauß-Tschebyschow-Integration

Im Gegensatz zur Schulmethode ist die Breite der einzelnen Balken, hier Gewicht genannt, nicht konstant, sondern nimmt zu den Intervallrändern hin ab. Sie beträgt .

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall [-1, 1] mit der Gewichtsfunktion . Die dazu gehörigen orthogonalen Polynome sind die Tschebyschow-Polynome, deren Nullstellen und damit auch die Stützpunkte der Quadraturformel direkt in analytischer Form vorliegen:

während die Gewichte nur von der Anzahl der Stützpunkte abhängen

Die Erweiterung auf beliebige Intervalle [a, b] erfolgt durch eine Variablentransformation (siehe unten). Liegt der Integrand in der Form vor, so kann er umgeformt werden in . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe approximiert. Durch Einsetzen der Stützpunkte in analytischer Form erhält man

was der n-fachen Anwendung der Mittelpunktsregel über dem Intervall 0 bis Pi entspricht. Der Fehler kann für einen geeigneten Wert für t zwischen 0 und Pi abgeschätzt werden über

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