Gauß-Newton-Verfahren

Algorithmus

Iteration

• Die Iteration wird mit folgender Matrixgleichung durchgeführt:

Dabei wird in jedem Schritt der Vektor a_i , der die Parameter a₁ , a₂ , ..., a_p enthält, verbessert.

Die Matrix D wird berechnet, indem man zunächst alle Werte in den k Zeilen der Tabelle in die Funktion r'₁ einsetzt. Das Ergebnis schreibt man untereinander in die Spalte 1 von D. Danach setzt man alle Werte in den k Zeilen der Tabelle in die Funktion r'₂ ein und schreibt sie in Spalte 2 der Matrix D usw.

Um den Vektor r zu berechnen, setzt man alle Werte in den k Zeilen der Tabelle in die Funktion r_i und schreibt die Ergebnisse jeweils untereinander als Vektor r auf.

Für die numerische Berechnung empfiehlt sich eine Aufspaltung der Berechnung, damit die Matrixinversion durch die Lösung eines linearen Gleichungssystems für den unbekannten Lösungsvektor s ersetzt werden kann:

Die Vorteile liegen in einer schnelleren Berechnung bei höherer Genauigkeit.

• Sobald a_{i + 1} berechnet wurde, müssen auch Matrizen neu berechnet werden, um den nächsten Iterationsschritt vorzubereiten. Um den Rechenaufwand zu verringern, kann auch mehrfach ohne Neuberechnung von s iteriert werden. Dieses Vorgehen wird beim Newtonschen Verfahren häufig empfohlen, reduziert aber die Konvergenzgeschwindigkeit und sollte erst angewendet werden, wenn sich a nur noch wenig ändert.
• Die Iteration wird abgebrochen, falls ||a_{i + 1} - a_i || < c , also bei den a₁ , a₂ , ..., a_p der Betrag der Änderung unterhalb der Fehlerschranke c liegt.

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