Gauß-Newton-Verfahren

Algorithmus

Zur Bestimmung der Parameter a₁ , a₂ , ..., a_p geht man nach diesem Schema vor:

Vorbereitung

• Gegeben ist die Funktion f(x₁ , ..., x_n ) = y mit n Variablen x₁ , ..., x_n und p gesuchten Parametern a₁ , ..., a_p
• Aufstellen der Residuumsfunktion r und des Residuenvektors r

r = f(x₁ , ..., x_n ) - y

r mit r_i = f(x_{i, 1} , ..., x_{i, n} ) - y_i , i = 1 k

• Berechnung der partiellen Ableitungen der Residuumsfunktion r nach jedem Parameter (a₁ , ..., a_p ):

• Aufbau der Matrizen für die Iteration:

Dabei ist D die Jacobi-Matrix des Residuenvektors r in Abhängigkeit vom Parametervektor a.

Für den Aufbau der Matrizen ist Folgendes zu beachten:

• Die Matrix D und der Spaltenvektor r haben k Zeilen, also für jede Zeile der oben angegebenen Tabelle eine.
• Der Spaltenvektor a hat p Zeilen, also für jeden Parameter a₁ , ..., a_p eine
• Die Spalten in der Matrix D sind die partiellen Ableitungen nach den Parametern a₁ , ..., a_p . Die Reihenfolge der Spalten in D hängt mit der Reihenfolge der Parameter in a zusammen. Steht in Zeile 1 von a der Parameter a₁ , so muss in D die erste Spalte die Ableitungen nach a₁ enthalten. Dementsprechend hat D p Spalten, also für jeden Parameter a₁ , ..., a_p eine.
• Die Anzahl der Variablen n hat keinen Einfluss auf den Aufbau der Matrix D und der beiden Vektoren r, a.
• Zu Beginn der Iteration müssen Startwerte für die Parameter a₁ , a₂ , ..., a_p und eine Fehlerschranke c , die größer Null sein muss, festgelegt werden.

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