Ganzzahlige lineare Optimierung

Die Ganzzahlige lineare Optimierung (auch ganzzahlige Optimierung) ist ein Teilgebiet der angewandten Mathematik. Wie die Lineare Optimierung beschäftigt sie sich mit der Optimierung linearer Zielfunktionen über einer Menge, die durch lineare Gleichungen und Ungleichungen eingeschränkt ist. Der Unterschied liegt darin, dass in der ganzzahligen Optimierung einige oder alle Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen und nicht beliebige reelle Werte wie in der linearen Optimierung. Die ganzzahlige Optimierung lässt sich geometrisch als Optimierung über einem konvexen Polyeder (einem höherdimensionalen Vieleck) auffassen und ist damit ein Spezialfall der konvexen Optimierung. Im Unterschied zur linearen Programmierung ist allerdings das zugrundeliegende Polyeder meist nicht genau bekannt, was das Problem aus komplexitätstheoretischer Sicht NP-schwer macht.

Da mindestens eine Variable diskret, also nicht kontinuierlich ist, ist auch der Begriff diskrete Optimierung gebräuchlich. Eine weitere häufige Bezeichnung ist ganzzahlige (lineare) Programmierung (von engl. integer (linear) programming), wobei der Begriff Programm im Sinne von Planung zu verstehen ist und nicht im Sinne eines Computerprogramms. Er wurde schon in den 1940er Jahren von George Dantzig geprägt, bevor Computer zur Lösung von Optimierungsproblemen eingesetzt wurden.

Noch stärker als die lineare hat sich die ganzzahlige Optimierung seit ihren Anfängen in den 1950er Jahren zu einem Modellierungs- und Optimierungswerkzeug für viele praktische Probleme entwickelt, für die keine speziellen Algorithmen bekannt sind. Durch bedeutende Fortschritte in der Entwicklung der Lösungsverfahren in den 1980er und 1990er Jahren hat die ganzzahlige Optimierung heute viele Anwendungen, beispielsweise in der Produktion, in der Planung von Telekommunikations- und Nahverkehrsnetzen und in der Tourenplanung.

Zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme gibt es einerseits exakte Lösungsverfahren wie beispielsweise Branch-and-Bound und Schnittebenenverfahren, die auf der Lösung vieler ähnlicher linearer Programme basieren, und andererseits eine Vielzahl von Heuristiken. Trotzdem ist die Lösung ganzzahliger linearer Programme in der Praxis immer noch eine schwere Aufgabe, die je nach Größe und Struktur des zu lösenden Problems eine geschickte Modellierung und mehr oder weniger speziell entwickelte oder angepasste Algorithmen erfordert. Oft werden daher mehrere Lösungsverfahren kombiniert.

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