Funktionentheorie

Komplexe Geometrie

Die komplexe Geometrie ist ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das auf Methoden der Funktionentheorie zurückgreift. In anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie wie der Differentialtopologie oder der riemannschen Geometrie werden glatte Mannigfaltigkeiten mit Techniken aus der reellen Analysis untersucht. In der komplexen Geometrie dagegen werden Mannigfaltigkeiten mit komplexen Strukturen untersucht. Im Gegensatz zu den glatten Mannigfaltigkeiten ist es auf komplexen Mannigfaltigkeiten möglich, mit Hilfe des Dolbeault-Operators holomorphe Abbildungen zu definieren. Diese Mannigfaltigkeiten werden dann mit Methoden der Funktionentheorie und der algebraischen Geometrie untersucht. Im vorigen Abschnitt wurde erklärt, dass es große Unterschiede zwischen der Funktionentheorie einer Veränderlichen und der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher gibt. Diese Unterschiede spiegeln sich auch in der komplexen Geometrie wider. Die Theorie der riemannschen Flächen ist ein Teilgebiet der komplexen Geometrie und beschäftigt sich ausschließlich mit Flächen mit komplexer Struktur, also mit eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten. Diese Theorie ist reichhaltiger als die Theorie der n-dimensionalen komplexen Mannigfaltigkeiten.

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