Funktionentheorie

Funktionentheorie in mehreren komplexen Variablen

Es gibt auch komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Im Vergleich zur reellen Analysis gibt es in der komplexen Analysis fundamentale Unterschiede zwischen Funktionen einer und mehrerer Variablen. In der Theorie holomorpher Funktionen mehrerer Variablen gibt es kein Analogon zum cauchyschen Integralsatz. Auch der Identitätssatz gilt nur in einer abgeschwächten Form für holomorphe Funktionen mehrerer Veränderlicher. Die cauchysche Integralformel jedoch lässt sich ganz analog auf mehrere Variablen verallgemeinern. In dieser allgemeineren Form nennt man sie auch Bochner-Martinelli-Formel. Außerdem besitzen meromorphe Funktionen mehrerer Variablen keine isolierten Singularitäten, was aus dem sogenannten Kugelsatz von Hartogs folgt, und als Konsequenz auch keine isolierten Nullstellen. Auch der riemannsche Abbildungssatz - ein Höhepunkt der Funktionentheorie in einer Variablen - hat kein Äquivalent in höheren Dimensionen. Nicht einmal die beiden natürlichen Verallgemeinerungen der eindimensionalen Kreisscheibe, die Einheitskugel und der Polyzylinder, sind in mehreren Dimensionen biholomorph äquivalent. Ein großer Teil der Funktionentheorie mehrerer Variablen beschäftigt sich mit Fortsetzungsphänomenen (riemannsche Hebbarkeitssätze, Kugelsatz von Hartogs, Satz von Bochner über Röhrengebiete, Cartan-Thullen-Theorie). Die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen wird zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie benutzt.

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