Funktionentheorie

Funktionentheorie in einer komplexen Variablen

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form x + iy geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch

darstellen. Hier sind u(x, y) und v(x, y) reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen x und y abhängen. u(x, y) heißt der Realteil und v(x, y) der Imaginärteil der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion eine spezielle reelle Abbildung von nach (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet. Dass in der Funktionentheorie nun vom in den abgebildet wird, macht das Plotten von Funktionen etwas umständlicher als gewohnt, da nun vier Dimensionen wiedergegeben werden müssen. Aus diesem Grund behilft man sich mit Farbtönen oder -sättigungen.

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