Yacas Reloaded - Freies Computer Algebra System

Inhalt

Grundlagen der Mathematik

Analysis

Reelle Zahlen

Reelle Funktionen

Funktionsfolgen und -reihen

Spezielle Funktionen

Mehrdimensionale Analysis

Funktionentheorie

Komplexe Zahlen

Topologie in C

Folgen und Reihen

Funktionen

Darstellung

Potenzreihen

Spezielle Funktionen

Differentialrechnung

Spezielle Teilgebiete

Maß- und Integrationstheorie

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Nichtstandardanalysis

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Komplexe Funktionen

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Eine Abbildung mit heißt eine komplexe Funktion oder komplexwertige Funktion. Ordnet f jedem ein zu, so schreibt man

w = f(z) Die Menge M heißt Definitionsbereich D(f) der Funktion f. Die Menge aller Zahlen, welche die "abhängige Variable" w annimmt, wenn die "unabhängige Variable" z alle Werte des Definitionsbereichs durchläuft, heißt Wertebereich W(f) der Funktion. Die Zahl w, die durch die Funktion einer Zahl z zugeordnet ist, heißt der zu z gehörige Funktionswert w(z).

Es sei w = f(z). Setzen wir

z = x + i y und w = u + i v,

so sind u und v reelle Funktionen der beiden reellen Variablen x und y:

u = u(x, y), v = v(x, y) Man nennt u den reellen und v den imaginären Teil der Funktion f(z). (Der zweite Name ist natürlich nicht ganz korrekt, denn der "imaginäre Teil" ist ja eine reelle Funktion - genau so wie der "Imaginärteil" einer komplexen Zahl eine reelle Zahl ist. Aber diese Namenskonventionen sind bequem und haben sich daher durchgesetzt.)

Grenzwert einer Funktion einer komplexen Veränderlichen

Wie bei den reellen Funktionen spielt auch hier der Begriff des Grenzwerts eine wichtige Rolle, und er wird hier analog wie dort definiert:

Dem Definitionsbereich D einer Funktion f(z) werde eine Zahlenfolge (z_n ) entnommen, die dem Grenzwert zustrebt und deren Glieder sämtlich von verschieden seien. Wenn für alle solche Zahlenfolgen die Folge (w_n ) der dazu gehörigen Funktionswerte w_n = f(z_n ) demselben Grenzwert zustrebt, dann sagt man, es sei der Grenzwert von f(z) für z gegen gleich , und schreibt dies:

Dieser Sachverhalt kann auch so ausgedrückt werden:

Für jede (noch so kleine) positive Zahl lässt sich stets eine andere positive Zahl angeben, so dass für

stets ist. ()

Stetigkeit

Eine Funktion f(z) einer komplexen Veränderlichen z ist an der Stelle stetig, wenn stets

ist. ("Stets" bedeutet hier: für jeden beliebigen Weg der Annäherung an den Wert .)

Anders ausgedrückt: An einer Stelle, an der die Funktion stetig ist, fällt der Grenzwert der Funktion bei Annäherung an die Stelle stets mit dem Funktionswert an der Stelle zusammen.

Ist eine Funktion an jeder Stelle des Definitionsbereichs D stetig, so sagt man, sie sei im ganzen Definitionsbereich stetig.

Wie bei den reellen Funktionen gilt:

Jedes Polynom einer komplexen Veränderlichen z ist in der ganzen z-Ebene stetig.
Eine rationale Funktion von z ist überall dort stetig, wo sie definiert ist.
Eine Funktion f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ist genau an den Stellen stetig, an denen die reellen Funktionen u und v stetig sind.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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