Funktionalanalysis
Partielle Differentialgleichungen
Die Funktionalanalysis bietet einen geeigneten Rahmen zur Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen. Solche Gleichungen haben häufig die Form Du = f, wobei die gesuchte Funktion u und die rechte Seite f Funktionen auf einem Gebiet   sind und D ein Differentialausdruck ist, dazu kommen sogenannte Randbedingungen, die das Verhalten der gesuchten Funktion u auf dem Rand  von  vorschreiben. Ein Beispiel für einen solchen Differentialausdruck ist etwa der Laplace-Operator  , weitere wichtige Beispiele ergeben sich aus der Wellengleichung oder aus der Wärmeleitungsgleichung.
Der Differentialausdruck wird nun als Operator zwischen Räumen differenzierbarer Funktionen angesehen, im Beispiel des Laplace-Operators etwa als Operator zwischen dem Raum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen und dem Raum der stetigen Funktionen auf . Derartige Räume von im klassischen Sinne differenzierbaren Funktionenräumen erweisen sich allerdings für eine erschöpfende Lösungstheorie als ungeeignet. Durch Übergang zu einem allgemeineren Differenzierbarkeitsbegriff (schwache Ableitung, Distributionstheorie) kann man den Differentialausdruck als Operator zwischen Hilberträumen, sogenannten Sobolew-Räumen, die aus geeigneten L2-Funktionen bestehen, ansehen. In diesem Rahmen lassen sich in wichtigen Fällen befriedigende Sätze über Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen beweisen. Dazu werden Fragen wie die Abhängigkeit von der rechten Seite f, sowie Fragen nach der Regularität, das heißt Glattheitseigenschaften der Lösung u in Abhängigkeit von Glattheitseigenschaften der rechten Seite f, mit funktionalanalytischen Methoden untersucht. Dies lässt sich weiter auf allgemeinere Raumklassen, etwa Räume von Distributionen, verallgemeinern. Ist die rechte Seite f gleich der Delta-Distribution und hat man für diesen Fall eine Lösung gefunden, eine sogenannte Fundamentallösung, so kann man in manchen Fällen Lösungen für beliebige rechte Seiten mittels Faltung konstruieren.
Für die Praxis werden numerische Methoden zur näherungsweisen Bestimmung von Lösungen solcher Differentialgleichungen herangezogen, etwa die Finite-Elemente-Methode. Auch bei der Konstruktion solcher Näherungen und der Bestimmung der Approximationsgüte spielen funktionalanalytische Methoden eine wesentliche Rolle.
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