Funktionalanalysis

Operatoren, Banachalgebren

Während die Banachräume bzw. Hilberträume Verallgemeinerungen der endlich-dimensionalen Vektorräume der linearen Algebra darstellen, verallgemeinern die stetigen, linearen Operatoren zwischen ihnen die Matrizen der linearen Algebra. Die Diagonalisierung von Matrizen, die eine Matrix als direkte Summe von Streckungen von sogenannten Eigenvektoren darzustellen versucht, erweitert sich zum Spektralsatz für selbstadjungierte oder normale Operatoren auf Hilberträumen, was zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik führt. Die Eigenvektoren bilden die quantenmechanischen Zustände, die Operatoren die quantenmechanischen Observablen.

Da Produkte von Operatoren wieder Operatoren sind, erhält man Algebren von Operatoren, die mit der Operatornorm Banachräume sind, so dass für zwei Operatoren A und B auch die multiplikative Dreiecksungleichung gilt. Dies führt zum Begriff der Banachalgebra, deren zugänglichste Vertreter die C*-Algebren und von-Neumann-Algebren sind.

Zur Untersuchung lokalkompakter Gruppen G zieht man den Banachraum L¹ (G) der bezüglich des Haarmaßes integrierbaren Funktionen heran, der mit der Faltung als Multiplikation zu einer Banachalgebra wird. Dies begründet die Harmonische Analyse als funktionalanalytischen Zugang zur Theorie der lokalkompakten Gruppen, die Fourier-Transformation ergibt sich bei dieser Sichtweise als Spezialfall der in der Banachalgebren-Theorie untersuchten Gelfand-Transformation.

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