Funktionalanalysis

Die Funktionalanalysis ist der Zweig der Mathematik, der sich mit der Untersuchung von unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen und Abbildungen auf solchen befasst. Hierbei werden Analysis, Topologie und Algebra verknüpft. Ziel dieser Untersuchungen ist es, abstrakte Aussagen zu finden, die sich auf verschiedenartige konkrete Probleme anwenden lassen. Die Funktionalanalysis ist der geeignete Rahmen zur mathematischen Formulierung der Quantenmechanik.

Von zentraler Bedeutung sind die Begriffe

• Funktional für eine Abbildung von Vektoren (z. B. Funktionen) auf skalare Größen und
• Operator für eine Abbildung von Vektoren auf Vektoren. Der Begriff des Operators ist eigentlich viel allgemeiner. Sinnvollerweise betrachtet man sie jedoch auf algebraisch und topologisch strukturierten Räumen, wie z. B. topologischen, metrischen oder normierten Vektorräumen aller Art.

Beispiele für Funktionale sind die Begriffe Folgengrenzwert, Norm, bestimmtes Integral oder Distribution, Beispiele für Operatoren sind etwa Differentiation, unbestimmtes Integral, quantenmechanische Observable oder Shift-Operatoren für Folgen.

Grundbegriffe der Analysis wie Stetigkeit, Ableitungen usw. werden in der Funktionalanalysis auf Funktionale und Operatoren erweitert. Gleichzeitig weitet man die Resultate der linearen Algebra (beispielsweise den Spektralsatz) auf topologisch lineare Räume (beispielsweise den Hilbertraum) aus, was mit sehr bedeutsamen Ergebnissen verbunden ist.

Die historischen Wurzeln der Funktionalanalysis liegen im Studium der Fourier-Transformation und ähnlicher Transformationen und der Untersuchung von Differential- und Integralgleichungen. Der Wortbestandteil "funktional" geht zurück auf die Variationsrechnung. Als Begründer der modernen Funktionalanalysis gelten Stefan Banach, Frigyes Riesz und Maurice René Fréchet.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Funktionalanalysis aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren