Funktional

Nichtlineare Funktionale

Beispiele von nichtlinearen Funktionalen

Große Bedeutung in der Anwendung, insbesondere in der klassischen Mechanik haben nichtlineare Funktionale auf Kurvenräumen, wie in dem Beispiel des Bogenlängenfunktionals weiter oben. Man kann dieses Beispiel leicht verallgemeinern.

Wir betrachten wiederum einen Kurvenraum und zusätzlich eine stetig differenzierbare Funktion . Damit definieren wir:

Man sagt, das Funktional L habe einen stationären Punkt bei einer Kurve c, wenn das Differential

für alle Variationen h, das sind Kurven mit Anfangs- und Endpunkt in der Null, verschwindet. Dies ist hier genau dann der Fall, wenn das (gewöhnliche) Differential von F auf der ganzen Kurve c verschwindet:

DF(c(t)) = 0

Betrachtet man einen Kurvenraum und zweifach stetige Funktionen mit zwei Argumenten , so erhält man analog:

stationären Punkte bei einer Kurve c, wenn das Differential

für alle Variationen h, verschwindet. Dies ist in diesem einfachen Fall genau dann der Fall, wenn c die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllt, d. h.

Bisweilen, insbesondere in anwendungsnahen Texten, schreibt man eine funktionale Abhängigkeit (im Gegensatz zu der gewöhnlichen funktionellen Abhängigkeit) mit eckigen oder geschweiften statt mit runden Klammern und nennt dabei eventuell ein Dummy-Argument der Argumentfunktion, also I[f] oder I{f(x)} statt I(f).

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