Funktional

Lineare Funktionale

Stetige lineare Funktionale

Wie gerade gesehen, ist der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums immer größer oder gleich dem ursprünglichen Vektorraum. Man kann sogar behaupten, dass diese Dualräume oft riesig sind und viele Elemente enthalten, die mathematisch kaum handhabbar sind. Das Ziel der Funktionalanalysis ist es allerdings, die Methoden der mehrdimensionalen Analysis auf unendlichdimensionale Räume auszudehnen und dabei insbesondere Konzepte wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu untersuchen. Daher werden a priori nur Vektorräume betrachtet, die zumindest den Stetigkeitsbegriff sinnvoll zulassen. Dies sind die topologischen Vektorräume, zu denen alle normierten Vektorräume, insbesondere Banachräume, und Hilberträume gehören.

In einem topologischen Vektorraum sind nun im Allgemeinen nicht alle linearen Funktionale stetig. Die Menge der stetigen Funktionale, die in der Funktionalanalysis von primärem Interesse ist, heißt der topologische Dualraum und wird mit V' bezeichnet.

Beispiele topologischer Dualräume

Für endlichdimensionale Vektorräume gibt es eine natürliche Topologie (Normtopologie), die aus der euklidischen Norm hervorgeht (genauer gesagt: aus einer beliebigen euklidischen Norm, wenn man eine Basis wählt). Dies ist gerade die Topologie, die der normalen Standard-Analysis zugrunde liegt, und in dieser ist jedes lineare Funktional stetig. Das heißt, der algebraische Dualraum ist gleich dem topologischen Dualraum.

Im unendlichdimensionalen Fall ist der topologische Dualraum (fast) immer ein echter Teilraum des algebraischen Dualraumes.

In normierten Vektorräumen ist ein Funktional f genau dann stetig, wenn es beschränkt ist, das heißt

Der topologische Dualraum ist dann automatisch ein Banachraum mit der oben angegebenen Supremumsnorm.

In Hilberträumen ist der topologische Dualraum kanonisch mit dem Ursprungsraum identifizierbar (Rieszscher Darstellungssatz). Die Identifikation erfolgt wie im endlichdimensionalen Fall über das Skalarprodukt:

Der topologische Dualraum des Raumes der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen mit kompaktem Träger auf der reellen Achse (die so genannten Testfunktionen) mit einer bestimmten (hier nicht näher erklärten) Topologie wird als Raum der Distributionen bezeichnet. In diesem Raum liegt auch das weiter oben genannte Beispiel des Dirac-Delta-Funktionals.

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