Funktional

Lineare Funktionale

Beispiele von Dualräumen

Für den Vektorraum ist der Dualraum kanonisch isomorph zum Vektorraum selbst, d. h. . Der kanonische Isomorphismus wird dabei über das kanonische Skalarprodukt vermittelt:

Für den Vektorraum gilt ähnliches wie im ersten Fall, allerdings ist die kanonische Abbildung in diesem Fall antilinear:

Der Dualraum ist in diesem Fall also gleich groß, hat aber bezüglich der kanonischen Abbildung eine andere Skalarmultiplikation. Im Sinne der linearen Algebra sagt man auch der Dualraum ist kanonisch isomorph zum komplex konjugierten Vektorraum.

Für allgemeine endlichdimensionale Vektorräume kann man durch die Wahl einer Basis und Anwendung der beiden ersten Fälle zeigen, dass der Dualraum immer die gleiche Dimension wie der Ursprungsraum hat. Die Abbildungen zwischen dem Vektorraum und dem Dualraum sind dann aber im Allgemeinen nicht kanonisch.

Für unendlichdimensionale Vektorräume ist der Fall wesentlich komplizierter. In einigen wichtigen Fällen, z. B. für Hilberträume, ist der Vektorraum zwar ein kanonischer Unterraum, im Allgemeinen gilt dies allerdings nicht. Der algebraische Dualraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums hat zudem immer größere Dimension (im Sinne der Kardinalität einer algebraischen Basis) als der Ursprungsraum.

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert auf dem Artikel Funktional aus der freien Enzyklοpädιe Wιkιpedιa und steht unter der Lizenz Creative Commons CC-BY-SA 3.0 Unported (Kurzfassung). Liste der Autoren

Anbieterkennzeichnung