Flächeninhalt

Integralrechnung

Die Fläche unter der Kurve von a bis b wird durch Rechtecke approximiert.

Die Integralrechnung wurde unter anderem zur Ermittlung von Flächeninhalten unter Kurven, das heißt unter Funktionsgraphen, entwickelt. Die Idee besteht darin, die Fläche zwischen Kurve und x-Achse durch eine Reihe schmaler Rechtecke zu approximieren und dann die Breite dieser Rechtecke in einem Grenzprozess gegen 0 gehen zu lassen. Die Konvergenz dieses Grenzübergangs hängt von der verwendeten Kurve ab. Betrachtet man einen beschränkten Bereich, etwa die Kurve über einem beschränkten Intervall [a, b] wie in nebenstehender Zeichnung, so zeigen Sätze der Analysis, dass die Stetigkeit der Kurve bereits ausreicht, um die Konvergenz des Grenzprozesses zu sichern. Dabei tritt das Phänomen auf, dass Flächen unterhalb der x-Achse negativ werden, was bei der Bestimmung von Flächeninhalten unerwünscht sein kann. Will man dies vermeiden, muss man zum Betrag der Funktion übergehen.

Gaußsche Glockenkurve

Will man auch die Intervallgrenzen und zulassen, so ermittelt man zunächst die Flächen für endliche Grenzen a und b wie gerade beschrieben und lässt dann in einem weiteren Grenzprozess , oder beides streben. Hier kann es vorkommen, dass dieser Grenzprozess nicht konvergiert, zum Beispiel bei oszillierenden Funktionen wie der Sinusfunktion. Beschränkt man sich auf Funktionen, die ihren Funktionsgraphen in der oberen Halbebene haben, so können diese Oszillationseffekte zwar nicht mehr auftreten, aber es kommt durchaus vor, dass der Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse unendlich wird. Da die Gesamtfläche eine unendliche Ausdehnung hat, ist das sogar ein plausibles und letztlich auch erwartetes Ergebnis. Wenn die Kurve sich allerdings für weit von 0 entfernte Stellen hinreichend schnell der x-Achse nähert, so kann das Phänomen eintreten, dass auch einer unendlich ausgedehnten Fläche ein endlicher Flächeninhalt zukommt. Ein bekanntes und für die Wahrscheinlichkeitstheorie wichtiges Beispiel ist die Fläche zwischen der gaußschen Glockenkurve

und der x-Achse. Obwohl die Fläche von bis reicht, ist der Flächeninhalt gleich 1.

Bei dem Versuch, weitere Flächen, etwa auch unter unstetigen Kurven, zu berechnen, stößt man schließlich auf die Frage, welchen Mengen in der Ebene denn überhaupt ein sinnvoller Flächeninhalt zukommen soll. Diese Frage erweist sich als schwierig, wie im Artikel zum Maßproblem ausgeführt wird. Es stellt sich heraus, dass der hier verwendete intuitive Flächeninhaltsbegriff nicht sinnvoll auf alle Teilmengen der Ebene ausgedehnt werden kann.

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