Flächeninhalt

Differentialgeometrie

In der Differentialgeometrie wird der Flächeninhalt einer ebenen oder gekrümmten Fläche F mit den Koordinaten (u, v) als Flächenintegral berechnet:

.

Dabei entspricht das Flächenelement der Intervallbreite dx in der eindimensionalen Integralrechnung. Es gibt den Flächeninhalt des durch die Tangenten an die Koordinatenlinien aufgespannten Parallelogramms mit den Seitenlängen du und dv an. Das Flächenelement ist abhängig vom Koordinatensystem und der Gaußschen Krümmung der Fläche.

In kartesischen Koordinaten (x, y) ist das Flächenelement . Auf der Kugeloberfläche mit dem Radius r und der Länge L sowie der Breite B als Koordinatenparametern gilt . Für die Oberfläche einer Kugel () erhält man damit den Flächeninhalt:

.

Zur Berechnung des Flächenelements ist es nicht zwingend erforderlich, die Lage einer räumlichen Fläche im Raum zu kennen. Das Flächenelement kann allein aus solchen Maßen abgeleitet werden, die innerhalb der Fläche gemessen werden können, und zählt damit zur inneren Geometrie der Fläche. Dies ist auch der Grund dafür, dass sich der Flächeninhalt einer (abwickelbaren) Fläche beim Abwickeln nicht ändert und damit durch Abwickeln in eine Ebene bestimmt werden kann.

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