Fixpunktiteration

Lineare Fixpunktverfahren

Konvergenz

Aus dem banachschen Fixpunktsatz und weiteren Überlegungen folgt dann, dass diese Fixpunktverfahren genau dann für jeden Startvektor x₀ konvergieren, falls der Spektralradius der Iterationsmatrix

.

sollte möglichst klein sein, da dadurch die Konvergenzgeschwindigkeit bestimmt wird.

Spezielle Verfahren

Auf obiger Konstruktionsidee basieren folgende bekannte Verfahren:

• Gauß-Seidel-Verfahren oder auch Einzelschrittverfahren (ESV)
• Jacobi-Verfahren oder auch Gesamtschrittverfahren (GSV)

Bemerkungen

Iterationsverfahren der Form x_{k + 1} = Mx_k + v, k = 0, 1, ... sind

• linear, d.h. x_k+1 hängt linear nur von x_k ab,
• stationär, d.h. M und v sind unabhängig von der Schrittnummer der Iteration,
• einstufig, d.h. nur der letzte und nicht noch weitere Näherungsvektoren werden verwendet.

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