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Exponentialfunktionen

Graphen verschiedener Exponentialfunktionen

In der Mathematik wird als Exponentialfunktion zur Basis eine Funktion der Form bezeichnet. In der gebräuchlichsten Form sind dabei für den Exponenten x die reellen Zahlen zugelassen. Im Gegensatz zu den Potenzfunktionen, bei denen die Basis die Variable enthält, befindet sich bei Exponentialfunktionen die Variable im Exponenten; von daher auch die Namensgebung.

Als die Exponentialfunktion im engeren Sinne wird die Exponentialfunktion mit der Eulerschen Zahl e als Basis bezeichnet; hierfür ist auch die Notation gebräuchlich. Unter Verwendung des Logarithmus lässt sich wegen der Identität jede Exponentialfunktion auf eine solche zur Basis e zurückführen, weshalb wir im folgenden das Hauptaugenmerk auf die Exponentialfunktion zur Basis e legen.

Definition

Die Exponentialfunktion (zur Basis e) kann auf den reellen Zahlen auf verschiedene Weise definiert werden. Zwei Möglichkeiten sind:

(Definition als Potenzreihe, genannt Exponentialreihe)

(Definition als Grenzwert einer Folge mit ).

Das n! steht für "Fakultät von n". Beide Arten sind auch zur Definition der komplexen Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen geeignet.

Die Exponentialfunktion auf der reellen Zahlengeraden ist positiv und streng monoton wachsend. Deshalb existiert ihre Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln(x), der für alle positiven reellen Zahlen x definiert ist. Daraus erklärt sich auch die Bezeichnung Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Konvergenz der Reihe, Stetigkeit

Die Konvergenz der für die Definition der Exponentialfunktion verwendeten Reihe

lässt sich für alle reellen und komplexen x einfach mit dem Quotientenkriterium zeigen; daraus folgt sogar absolute Konvergenz. Der Konvergenzradius der Potenzreihe ist also unendlich. Da Potenzreihen an jedem inneren Punkt ihres Konvergenzbreiches stetig sind, ist die Exponentialfunktion also in jedem reellen und komplexen Punkt stetig.

Rechenregeln

Da die Exponentialfunktion die Funktionalgleichung erfüllt, kann man mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf reelle und komplexe Exponenten verallgemeinern, indem man definiert:

bzw.

für alle a > 0 und alle reellen oder komplexen x .

Solche Funktionen heißen exponentielle Funktionen und "verwandeln" Multiplikation in Addition. Genauer zeigen das die folgenden Gesetze:

a⁰ = 1 und a¹ = a

Diese Gesetze gelten für alle positiven reellen a und b und alle reellen oder komplexen x. Ausdrücke mit Brüchen und Wurzeln können oft mit Hilfe der Exponentialfunktion vereinfacht werden:

Ableitung: die "natürliche" Bedeutung der Exponentialfunktion

Die große Bedeutung der Exponentialfunktion leitet sich aus der Tatsache ab, dass ihre Ableitung wieder die Exponentialfunktion ergibt:

Wenn man zusätzlich

exp(0) = 1

fordert, ist die Exponentialfunktion im Reellen sogar die einzige Funktion, die dies leistet. Somit kann man die Exponentialfunktion auch als Lösung dieser Differentialgleichung definieren.

Allgemeiner folgt für a > 0 aus

und der Kettenregel die Ableitung beliebiger exponentieller Funktionen:

In dieser Formel kann der natürliche Logarithmus nicht durch einen Logarithmus zu einer anderen Basis ersetzt werden; die Zahl e kommt also in der Differentialrechnung auf "natürliche" Weise ins Spiel.

Numerische Berechnungsmöglichkeiten

Als fundamentale Funktion der Analysis wurde viel über Möglichkeiten zur effizienten Berechnung der Exponentialfunktion bis zu einer gewünschten Genauigkeit nachgedacht. Dabei wird stets die Berechnung auf die Berechnung der Exponentialfunktion in einer kleinen Umgebung der Null reduziert und mit dem Anfang der Potenzreihe gearbeitet. In der Analyse ist die durch die Reduktion notwendige Arbeitsgenauigkeit gegen die Anzahl der notwendigen Multiplikationen von Hochpräzisionsdaten abzuwägen.

Der Rest der N-ten Partialsumme hat eine einfache Abschätzung gegen die geometrische Reihe, welche auf

bei | r_N (x) | < 2

für alle x mit | x | < 0, 5N + 1 führt.

Die einfachste Reduktion benutzt die Identität exp(2z) = exp(z)² , d.h. zu gegebenem x wird bestimmt, wobei K nach den Genauigkeitsbetrachtungen gewählt wird. Damit wird nun, in einer gewissen Arbeitsgenauigkeit, berechnet und K-fach quadriert: y_n-1 := y²_n . y₀ wird nun auf die gewünschte Genauigkeit reduziert und als exp(x) zurückgegeben.

Effizientere Verfahren setzen voraus, dass ln(2), besser zusätzlich ln(3) und ln(5) (Arnold Schönhage) in beliebiger (nach Spezifikation auftretender) Arbeitsgenauigkeit verfügbar sind. Dann können die Identitäten

oder

benutzt werden, um x auf ein y aus dem Intervall [ - 0, 4 ; 0, 4] oder einem wesentlich kleineren Intervall zu transformieren und damit das aufwendigere Quadrieren zu reduzieren oder ganz zu vermeiden.

Hintergründe und Beweise

Funktionalgleichung

Da und konvergieren, konvergiert auch deren Produkt

.

Ist nun xy < 0, so liefert die Bernoullische Ungleichung für hinreichend große n

;

für xy > 0 erhält man aus der einfach zu zeigenden Ungleichung für u < 1 und ebenfalls der Bernoullischen Ungleichung für hinreichend große n

,

die Exponentialfunktion erfüllt also tatsächlich die Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Ungleichungen

Abschätzung nach unten

Für reelle x lässt sich die Exponentialfunktion mit

exp(x) > 0

nach unten abschätzen. Der Beweis ergibt sich aus der Definition

und der Tatsache, dass für hinreichend große n . Da die Folge monoton wachsend ist, ist der Grenzwert daher echt größer Null.

Diese Abschätzung lässt sich zur wichtigen Ungleichung

verschärfen. Für folgt sie aus , für ergibt sich der Beweis beispielsweise, indem man die Bernoullische Ungleichung auf die Definition

anwendet. Eine Anwendung dieser Ungleichung ist der Polya-Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel. Allerdings erleichtert die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Untersuchung der Folge sehr; um daher einen Zirkelschluss zu vermeiden, benötigt der Polya-Beweis Herleitungen der Exponentialfunktion, die ohne Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel auskommen.

Abschätzung nach oben

Aus der einfach zu zeigenden Ungleichung für u < 1 und der Bernoullischen Ungleichung erhält man für reelle x < 1 und n hinreichend groß eine Abschätzung nach oben:

,

also

Ableitung der Exponentialfunktion

Die wichtigste Anwendung dieser beiden Abschätzungen ist die Berechnung der Ableitung der Exponentialfunktion an der Stelle 0:

.

Gemeinsam mit der Funktionalgleichung exp(x + y) = exp(x)exp(y) folgt daraus die Ableitung der Exponentialfunktion für beliebige reelle Zahlen:

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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