Exponentialfunktion

Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen

lässt sich die Exponentialfunktion für komplexen Zahlen z definieren. Die Reihe konvergiert für alle absolut.

Die Exponentialfunktion behält für alle komplexen z, w folgende wichtige Eigenschaften:

exp(0) = 1

exp'(z) = exp(z)

In ∞ hat die Exponentialfunktion eine wesentliche Singularität, ansonsten ist sie holomorph, d. h. sie ist eine ganze Funktion. Die komplexe Exponentialfunktion ist periodisch mit der komplexen Periode 2πi, es gilt also

Beschränkt man ihren Definitionsbereich auf einen Streifen

mit , dann besitzt sie eine wohldefinierte Umkehrfunktion, den komplexen Logarithmus.

Die Exponentialfunktion kann zur Definition der trigonometrischen Funktionen für komplexe Zahlen verwendet werden:

Dies ist äquivalent zur eulerschen Formel

e^iz = cos(z) + i sin(z).

Daraus abgeleitet ergibt sich speziell die Gleichung

der in Physik und Technik wichtigen komplexen Exponentialschwingung mit der Kreisfrequenz und der Frequenz f.

Ebenso kann die Exponentialfunktion zur Definition der hyperbolischen Funktionen verwendet werden:

Man kann auch im Komplexen eine allgemeine Potenz definieren:

mit .

Die Werte der Potenzfunktion sind dabei abhängig von der Wahl des Einblättrigkeitsbereichs des Logarithmus, siehe auch Riemannsche Fläche.

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