Exponentialfunktion

Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren

Die Exponentialfunktion lässt sich auf Banachalgebren verallgemeinern. Sie ist immer noch über die Reihe

definiert, die für alle beschränkten Argumente aus der jeweils betrachteten Banachalgebra absolut konvergiert.

Die wesentliche Eigenschaft der reellen (und komplexen) Exponentialfunktion

ist in dieser Allgemeinheit allerdings nur noch gültig für Werte x und y, die kommutieren, also für Werte mit (dies ist in den reellen oder komplexen Zahlen natürlich immer erfüllt, da die Multiplikation dort kommutativ ist).Einige Rechenregeln dieser Art für die Exponentiale von linearen Operatoren auf einem Banach-Raum liefern die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Eine wichtige Anwendung dieser verallgemeinerten Exponentialfunktion findet sich beim Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen der Form mit konstanten Koeffizienten. In diesem Fall ist die Banachalgebra die Menge der -Matrizen mit komplexen Einträgen. Mittels der jordanschen Normalform lässt sich eine Basis bzw. Ähnlichkeitstransformation finden, in welcher die Exponentialmatrix eine endliche Berechnungsvorschrift hat. Genauer gesagt, man findet eine reguläre Matrix C, so dass C^-1 AC = D + N, wobei D eine Diagonalmatrix und N eine nilpotente Matrix sind, welche miteinander kommutieren. Es gilt damit

Das Exponential einer Diagonalmatrix ist die Diagonalmatrix der Exponentiale, das Exponential der nilpotenten Matrix ist ein matrixwertiges Polynom mit einem Grad, der kleiner als die Dimension n der Matrix A ist.

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