Exponentialfunktion

Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion

Beispiele

Man besitzt nun ein mächtiges Instrument zur Beschreibung von Vorgängen in derPhysik und Chemie, wo man mittels eines Ansatzes vom Typ ein die Exponentialfunktion enthaltendes Ergebnis der Form erhält.

Physik

Als Beispiele für das häufige Auftreten der Exponentialfunktion in der Physik seien genannt:

• Radioaktiver Zerfall
• Barometrische Höhenformel
• Zeitliche Ladungskurven eines elektrischen Kondensators
• Zeitliche Energiekurve beim Einschaltvorgang einer Spule durch Selbstinduktion

Chemie

Als ein Beispiel in der Chemie sei hier eine einfache chemische Reaktion skizziert. Es wird angenommen, dass wir die Lösung eines Stoffes vorliegen haben, etwa Rohrzucker in Wasser. Der Rohrzucker werde nun durch einen Katalysator zu Invertzucker umgewandelt (hydrolysiert). Bei dieser einfachen chemischen Reaktion wird man das Geschwindigkeitsgesetz (unter Vernachlässigung der Rückreaktion) wie folgt formulieren:

Die Reaktionsgeschwindigkeit als Funktion der Zeit ist proportional zur noch vorhandenen Menge der sich umwandelnden Substanz.

Bezeichnen wir die Menge des zur Zeit x noch nicht umgewandelten Rohrzuckers mitu(x), so ist die Reaktionsgeschwindigkeit , und nach dem oben formulierten Geschwindigkeitsgesetz gilt die Gleichung

mit einer reaktionsspezifischen Geschwindigkeitskonstante k. Aus diesem Momentangesetz erhält man nach obiger Differentialgleichung ein Integralgesetz, welches uns die Menge u des übriggebliebenen Rohrzuckers als Funktion der Zeit liefert:

u(x) = ae ^{- kx} ,

wobei die Konstante a die zur Zeit x = 0 vorhandene Menge bezeichnet. Die chemische Reaktion nähert sich also asymptotisch ihrem Endzustand u = 0 an, der völligen Umwandlung von Rohrzucker in Invertzucker. (Die Vernachlässigung der Rückreaktion ist hier akzeptabel, da das chemische Gleichgewicht der Rohrzucker-Hydrolyse sehr stark auf Seiten des Invertzuckers liegt).

Biologie

• „exponentielles“ Wachstum einer Population von z. B. Mikroorganismen

Stochastik

Gleiche Anzahl von Münzen und Empfängern

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zufällig keine, eine oder mehr Münzen zu erhalten, wenn n Münzen zufällig auf n Empfänger verteilt werden und n sehr groß ist?

Die eulersche Zahl e und die Näherungsformel für die Exponentialfunktion

(1)

erlauben eine einfache Abschätzung.

Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Verteilung eine Münze zu erhalten, beträgt 1/n und 1-1/n, keine Münze zu erhalten. Die Wahrscheinlichkeit, zweimal keine Münze zu erhalten, beträgt: (1-1/n)(1-1/n). Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, n-mal erfolglos zu sein:

(2)

Die Wahrscheinlichkeit, nur einmal Erfolg zu haben, ist das Produkt aus Misserfolgen, Erfolg und der Kombinationsmöglichkeiten n, wann sich der Erfolg einstellt (beim ersten Mal, oder zweiten oder dritten...):

(3)

Die Wahrscheinlichkeit, mehr als eine Münze zu erhalten, lautet entsprechend:

(4)

Mehr Münzen als Empfänger

Wie viele Münzen m müssen es sein, um die Wahrscheinlichkeit P_m , keine zu erhalten, zu verringern, beispielsweise auf 0,1 statt 0,37? Aus (1) folgt:

(5)

Oder anders gefragt: Wie viele Münzen m müssen es mehr sein als Empfänger n?

(6)

Damit im Mittel nur 10 % der Empfänger leer ausgehen, ist die 2,3-fache Menge an Münzen erforderlich, bei 1 % fast die 5-fache Anzahl.

Wirtschaft

• Stetige Verzinsung
• Die Stückelung folgt üblicherweise einer exponentiellen Gesetzmäßigkeit beim Anstieg des Wertes. Am Beispiel des Euro ist zu den Punkten für jede Münze oder Banknote eine Ausgleichsgerade dargestellt. Die geringen Abweichungen von dieser Geraden folgen aus der Forderung nach „runden“ Zahlen, die mit nur einer signifikanten Stelle exakt anzugeben sind (nicht zu verwechseln mit glatten Zahlen).

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