Eulerscher Polyedersatz

Ein klassischer Beweis

Dieser Beweis zeigt mit struktureller Induktion die Gültigkeit des Satzes für planare Graphen.

Der einfachste planare Graph besteht nur aus einer Ecke. Es gibt eine Fläche (die Außenfläche) und keine Kanten. Es gilt also E + F − K = 1 + 1 − 0 = 2. Aus diesem einfachsten Graphen können alle weiteren ausschließlich durch die beiden folgenden Operationen konstruiert werden, welche die Gültigkeit des Satzes nicht verändern:

1. Hinzufügen einer Ecke, die über eine neue Kante mit dem Rest des Graphen verbunden ist. Die Anzahl der Ecken und Kanten steigt jeweils um eins, während die Anzahl der Flächen gleichbleibt. Galt für den alten Graphen E + F − K = 2, so gilt es auch für den neuen, da auf der linken Seite der Gleichung je eine Eins addiert und abgezogen wurde.
2. Hinzufügen einer Kante, die zwei bereits bestehende Ecken verbindet. Während die Anzahl der Ecken gleichbleibt, steigt die Anzahl der Flächen und Kanten jeweils um eins. Wieder bleibt die Summe E + F − K gleich, da je eine Eins addiert und abgezogen wurde.

Da der Satz für den ersten, einfachsten Graphen galt, muss er also auch für jeden Graphen gelten, der durch eine der beiden Operationen aus diesem entsteht. Jeder Graph, der durch eine weitere Operation aus einem solchen Graphen entsteht, muss den Satz ebenfalls erfüllen, usw. Daher gilt der Satz für alle planaren Graphen und damit auch für alle konvexen Polyeder.

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