Eulersche Formel

Verwandtschaft zwischen Exponential- und Winkelfunktionen

Da es mit Hilfe der Eulerformel möglich ist, trigonometrische Funktionen als Linearkombinationen imaginärer Exponentialfunktionen darzustellen, ist sie ein zentrales Bindeglied zwischen Exponentialfunktionen und Trigonometrie:

Die exponentielle Schreibweise der trigonometrischen Funktionen Sinus und Cosinus leitet sich daraus her, dass eine Gleichung aufgestellt wird, in der eine komplexe Zahl mit Betrag 1 und Winkel x mit ihrer komplex konjugierten Zahl addiert (um auf den Cosinus zu kommen) bzw. subtrahiert wird (um auf den Sinus zu kommen). Auf der anderen Seite der Gleichung steht die Entsprechung in trigonometrischer Form (Zusammenhang definiert durch Eulersche Identität):

Im Endeffekt ermöglicht die Eulerformel damit eine völlig neue Sicht auf die trigonometrischen Funktionen, da die in der herkömmlichen Trigonometrie allein mit reellen Argumenten verwendeten Funktionen Sinus und Kosinus nun auch noch eine Bedeutung in der komplexen Analysis erhalten. Mehr noch: Versieht man sie mit imaginären Argumenten, wird dadurch eine Brücke zu den Hyperbelfunktionen geschlagen:

Wie zu sehen, entsprechen die beiden erhaltenen Funktionen genau den Definitionen des Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus.

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