Eulersche Formel

Die eulersche Formel bzw. Eulerformel, in manchen Quellen auch eulersche Relation genannt, bezeichnet die Gleichung:

Die eulersche Formel bildet das Bindeglied zwischen den trigonometrischen Funktionen und den komplexen Zahlen. Die Konstante e bezeichnet dabei die eulersche Zahl (Basis des natürlichen Logarithmus) und die Einheit i die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Im Fall, dass wird, vereinfacht sich die oben genannte Formel zu der Gleichung

die man auch als eulersche Identität (siehe unten) bezeichnet.

Die eulersche Formel erschien erstmals 1748 in Leonhard Eulers zweibändiger Introductio in analysin infinitorum, zunächst unter der Prämisse, dass der Winkel dabei eine reelle Zahl ist. Diese Einschränkung jedoch erwies sich bald als überflüssig: Die eulersche Formel gilt gleichermaßen für alle reellen wie komplexen Argumente. Dies ergibt sich aus der reellen eulerschen Formel in Verbindung mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen, denn sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung stehen jeweils holomorphe Funktionen .

Als Folgerung aus der eulerschen Formel ergibt sich für alle die folgende Gleichung:

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