Euklidischer Raum

Zunächst bezeichnet der Begriff euklidischer Raum den „Raum unserer Anschauung“ wie er in Euklids Elementen durch Axiome und Postulate beschrieben wird (vgl. euklidische Geometrie). Bis ins 19. Jahrhundert wurde davon ausgegangen, dass dadurch der uns umgebende physikalische Raum beschrieben wird. Der Zusatz „euklidisch“ wurde nötig, nachdem in der Mathematik allgemeinere Raumkonzepte (z. B. hyperbolischer Raum, riemannsche Mannigfaltigkeiten) entwickelt wurden und es sich im Rahmen der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie zeigte, dass zur Beschreibung des Raums in der Physik andere Raumbegriffe benötigt werden (Minkowski-Raum, Lorentz-Mannigfaltigkeit).

Im Laufe der Zeit wurde Euklids Geometrie auf verschiedene Arten präzisiert und verallgemeinert:

• axiomatisch durch Hilbert (siehe Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie)
• als euklidischer Vektorraum (einem über definierten Vektorraum mit Skalarprodukt)
• als euklidischer Punktraum (einem affinen Raum, der über einem euklidischen Vektorraum modelliert ist)
• als Koordinatenraum mit dem Standardskalarprodukt

Wenn vom euklidischen Raum die Rede ist, dann kann jede von diesen gemeint sein oder auch eine höherdimensionale Verallgemeinerung. Den zweidimensionalen euklidischen Raum nennt man auch euklidische Ebene. In diesem zweidimensionalen Fall wird der Begriff in der synthetischen Geometrie etwas allgemeiner gefasst: Euklidische Ebenen können dort als affine Ebenen über einer allgemeineren Klasse von Körpern, den euklidischen Körpern definiert werden.

Vom affinen Raum unterscheidet sich der euklidische dadurch, dass man Längen und Winkel messen kann und demzufolge die Abbildungen auszeichnet, die Längen und Winkel erhalten. Diese nennt man traditionell Kongruenzabbildungen, andere Bezeichnungen sind Bewegungen und Isometrien.

Vom hyperbolischen Raum unterscheidet er sich dadurch, dass das Parallelenaxiom gilt.

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