Euklidische Geometrie

Verallgemeinerung für höhere Dimensionen

Als analytische Geometrie lässt sich die euklidische Geometrie ohne weiteres für eine beliebige (auch unendliche) Anzahl von Dimensionen verallgemeinern.

Zu den Geraden und Ebenen treten dann höherdimensionale lineare Punktmengen, die als Hyperebenen bezeichnet werden. (In einem engeren Sinne ist eine Hyperebene eines n-dimensionalen Raumes ein möglichst „großer“, also (n-1)-dimensionaler Teilraum.)

Die Zahl der Dimensionen ist dabei nicht beschränkt und muss auch nicht endlich sein. Zu jeder Kardinalzahl lässt sich ein euklidischer Raum dieser Dimension definieren.

Räume mit mehr als drei Dimensionen sind für unser Vorstellungsvermögen grundsätzlich unzugänglich. Sie wurden auch nicht mit dem Anspruch entworfen, menschliche Raumerfahrung darzustellen. Ähnlich wie bei den nichteuklidischen Geometrien fanden sich aber auch hier Bezüge zur theoretischen Physik: Die Raumzeit der speziellen Relativitätstheorie lässt sich als vierdimensionaler Raum darstellen. In der modernen Kosmologie gibt es Erklärungsansätze mit noch erheblich mehr Dimensionen.

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